NCERT Solutions Class 9 Maths in Hindi Chapter 5 Introduction to Euclid’s Geometry Exercise 5.1

प्रश्नावली:- अध्याय:-5- (यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय ) Introduction To Euclid’s Geometry- प्रश्नावली:-5.1

प्रश्न.1 (Q 1) निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं?  अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

(i). एक बिंदु से होकर केवल एक हीं रेखा खींची जा सकती है।

(ii). दो भिन्न बिंदुओं  से जानेवाली असंख्य रेखाएँ हैं।

(iii). एक शांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।

(iv). यदि दो वृत्त बराबर हैं तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

(v). आकृति 5.9 में , यदि  AB=PQ और   PQ=XY है, तो  AB=XY होगा।

Ans.

उत्तर:-

निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं?  अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

(i) एक बिंदु से होकर केवल एक हीं रेखा खींची जा सकती है।

हल:-

असत्य

एक बिंदु से होकर अलग-अलग दिशाओं में असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती है।

यदि हम कॉपी पर एक  बिंदु D लेते हैं  और रेखाएँ  खींचते हैं तो उस बिंदु से होकर हम अलग-अलग दिशाओं में असंख्य रेखाएँ खींच सकते हैं।

(ii) दो भिन्न बिंदुओं  से जानेवाली असंख्य रेखाएँ हैं।

हल:-

असत्य

क्योंकि बिंदु D से अलग-अलग दिशाओं में असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती है लेकिन बिंदु D से बिंदु E तक केवल एक-हीं रेखा खींची जा सकती है।

(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।

हल:-

सत्य

क्योंकि अभिधारणा 2 कहती है कि एक सांत रेखा को अनिस्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

हल:-

सत्य

क्योंकि समान त्रिज्या से हीं बराबर वृत खींचे जा सकते हैं।

(v) आकृति 5.9 में , यदि  AB=PQ और   PQ=XY है, तो  AB=XY होगा।

हल:-

सत्य

क्योंकि वे वस्तुएँ जो एक हीं वस्तु के बराबर हो, एक-दूसरे के बराबर होती है। (युक्लिड के अभिगृहित)

प्रश्न.2 (Q 2) निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए ।क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है। वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित करेंगे।

(i) समांतर रेखाएँ

(ii) लंब रेखाएँ

(iii) रेखाखंड

(iv)वृत्त की त्रिज्या

(v) वर्ग

Ans.

(i) समांतर रेखाएँ – वो रेखाएँ जिनमें कोई उभयनिष्ठ बिंदु ना हो या जो एक-दूसरे को नहीं काटती हो और जो समान दूरी पर स्थित हो,  समांतर रेखाएँ  कहलाती है।

(i) लंब रेखाएँ – वैसी  रेखाएँ जो एक-दूसरे को काटने पर समकोण बनाती हो, लंब रेखा कहलाती है।

(iii) रेखाखंड – वह रेखा जिनका दोनों सिरा बिंदु हो रेखाखंड होते हैं।

(iv)वृत्त की त्रिज्या -वृत के केंद्र से परिधि तक की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।

(v) वर्ग -वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर और चारों कोण समकोण हो, वर्ग कहलाती है।

अन्य  पद:-

बिंदु- जिसका कोई भाग नहीं होता।

रेखा- रेखा में केवल लंबाई होती है। यह एक बिंदु से दूसरी बिंदु तक खींची जाती है।

सरल रेखा– वह रेखा जिसमें कोई वक्र न हो।

कोण– वह आकृति है जो एकबिन्दु से दो किरणों के निकलने पर बनती है।

समकोण– वह कोण जिसका मान 900 होता है।

चतुर्भुज- वह आकृति जो चार रेखाखंड से बंद हों और जिसमें चार कोण हों, चतुर्भुज कहलाती है।

वृत्त– एक तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह , जो तल के एक स्थिर बिंदु से समान दूरी पर स्थित हो, वृत्त कहलाता है।

वृत्त की परिधि– सम्पूर्ण वृत्त की लंबाई को वृत्त की परिधि कहते हैं।

वृत्त का केंद्र– वृत्त की आंतरिक स्थिर बिंदु जो वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर हो।

प्रश्न.3 (Q 3) नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिये:-

(i) दो भिन्न बिंदु Aऔर B दिए रहने पर , एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो Aऔर B के बीच स्थित है।

(ii) यहाँ कम-से-कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं है।

क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द है? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं? क्या ये युक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती है? स्पष्ट कीजिए

Ans

हाँ । इन अभिधारणों में ‘बिंदु’और  ‘रेखाएँ’ दो अपरिभाषित शब्द है ।

हाँ । ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं। क्योंकि दोनों अभिधारणाएँ दो अलग-अलग तथ्यों से संबंधित है।

इन दोनों में से कोई भी युक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त नहीं होती हैं।

अभिधारणा (i) में यह ‘बिंदु Aऔर B के बीच संबंध’ स्पष्ट नहीं है जिससे ज्यामितिक रूप  का अनुमान लगाया जा सके।

प्रश्न.4 (Q 4) प्रश्न. 4    यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC =AB.एक आकृति खींच कर इसे स्पष्ट कीजिए।

Ans

दिया हुआ है:-

AC = BC

सिद्ध करना है:-

AC =1/2 AB.

प्रमाण:-

AC = BC (दिया हुआ है)

दोनों तरफ AC जोड़ देने पर,

∵ AC और BC बराबर हैं, और बराबरों को बराबर में जोड़ने पर पूर्ण भी बराबर होते हैं।

⇒ AC+  AC = BC + AC

∵ AC + BC,  AB  के संपाती हैं।

⇒ 2 AC = AB

∵ एक हीं वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

⇒AC = 1/2 AB सिद्ध  हुआ

प्रश्न.5 (Q 5 ) प्रश्न 4 में, C रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।

Ans

दिया हुआ है:-

C रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है

सिद्ध करना है:-

एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।

प्रमाण:-

माना कि C और D  रेखाखंड AB के दो मध्य-बिंदु हैं।

C रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है (दिया हुआ है)

 AC =1/2 AB.

AD = 1/2 AB.

⇒ AC = AD  (∵ वस्तुएँ जो एक हीं वस्तु के बराबर हो , एक-दूसरे के बराबर होते हैं। )

परंतु यह तभी हो सकता है जब C और D संपाती हो।

C एक अद्वितीय बिंदु है।

अत: एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है। सिद्ध हुआ

प्रश्न.6 (Q 6) प्रश्न. 6 आकृति 5.10 में यदि AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।

Ans

दिया हुआ है:-

AC = BD

सिद्ध करना है:-

AB = CD

प्रमाण:-

AC = BD (दिया हुआ है)

दोनों तरफ BC घटा देने पर,

∵ AC और BD बराबर हैं, और बराबरों को बराबर में से घटाया जाये तो शेषफल भी बराबर होते हैं।

⇒ AC – BC = BD –  BC

⇒ AB = CD

AB = CD सिद्ध  हुआ

प्रश्न.7 (Q 7) प्रश्न. 7 युक्लिड की अभिगृहितों की सूची में दिया हुआ अभिगृहित 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है ? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से संबंधित नहीं है।)

Ans

अभिगृहित 5 पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।

यह एक हर क्षेत्र में सही है। इसलिये इसे सर्वव्यापी सत्य कहा जाता है।

उदाहरण(i):-

10= 6+4

6 और 4  संख्या 10  के भाग हैं।

10 > 6

10> 4

 उदाहरण(ii):-

पंजाब भारत  का भाग है।

भारत , पंजाब  से बड़ा है।

अत: पूर्ण हमेशा भाग से बड़ा होता है। सिद्ध  हुआ